Recepty pí

Pre Eudoxusa z Cnidusu (cca 400 - 350 bce) ide o česť byť prvým, ktorý ukázal, že plocha kruhu je úmerná štvorcu jeho polomeru. V dnešnom algebraickom zápise je táto proporcionalita vyjadrená známym vzorcom A = πr ². Napriek tomu konštanta proporcionality π, napriek jej známosti, je veľmi tajomná a snaha porozumieť jej a nájsť jej presnú hodnotu obsadila matematikov tisíce rokov. Storočí po Eudoxus, Archimedes objavil prvý dobrú aproximáciu n: 3 ¹⁰ / ₇₁ <π <3 ¹ / ₇, Dosiahol to aproximáciou kruhu s 96-stranným polygónom (pozri animáciu). Ešte lepšie aproximácie boli nájdené použitím polygónov s viacerými stranami, ale tieto slúžili iba na prehĺbenie tajomstva, pretože sa nedala dosiahnuť žiadna presná hodnota a v slede aproximácií nebolo možné pozorovať žiadny vzorec.

Ohromujúca roztok tajomstvo bola objavená indickými matematiky asi 1500 CE: π môžu byť reprezentované nekonečna, ale prekvapivo jednoduché, séria ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ + ⋯.They objavil to ako zvláštny prípad séria pre inverznej funkcie tangenta: tan ^-1 (x) = x - ^{x 3 / ₃ + x 5 / ₅ - x 7 / ₇ + ⋯.}

Jednotliví objavitelia týchto výsledkov nie sú istí; niektorí vedci ich pripisujú Nilakantha Somayaji, niektorí Madhave. Indické dôkazy sú štrukturálne podobné dôkazom, ktoré neskôr objavili v Európe James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz a Jakob Bernoulli. Hlavný rozdiel spočíva v tom, že tam, kde Európania mali výhodu základnej vety o kalkulu, museli Indovia nájsť limity súhrnov formy

Pred tým, ako Gregory znovuobjavil inverznú tangens série okolo roku 1670, boli v Európe objavené ďalšie vzorce pre π. V roku 1655 John Wallis objavil nekonečné produkt ^π / ₄ = ² / ₃ ∙ ⁴ / ₃ ∙ ⁴ / ₅ ∙ ⁶ / ₅ ∙ ⁶ / ₇ ⋯, a jeho kolega William Brouncker transformovaná to do nekonečnej reťazový zlomok

A konečne, v Leonharda Eulerova Úvod do analýzy na nekonečno (1748), séria ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ + ⋯ je transformovaný do Brouncker pretrvávajúce frakcie, čo ukazuje, že všetky tri vzorce sú v niektorí to isté.

Brounckerova nekonečná nepretržitá frakcia je obzvlášť významná, pretože naznačuje, že π nie je obyčajná frakcia - inými slovami, že π je iracionálne. Presne táto myšlienka bola použitá v prvom dôkaze, že π je iracionálny, uvedený Johann Lambert v roku 1767.