História analýzy
Gréci sa stretávajú s neustálymi veličinami
Analýza pozostáva z tých častí matematiky, v ktorých je dôležitá neustála zmena. Zahŕňajú štúdium pohybu a geometrie hladkých kriviek a plôch - najmä výpočet dotyčníc, plôch a objemov. Starogrécki matematici urobili veľký pokrok v teórii aj v praxi analýzy. Teória bola nútená asi 500 bce Pythagorovým objavom iracionálnych veľkostí a asi 450 bce Zenoovými paradoxmi pohybu.
Pythagorejci a iracionálne čísla
Pythagorejci spočiatku verili, že všetko sa dá merať pomocou samostatných prirodzených čísel (1, 2, 3,
) a ich pomery (bežné zlomky alebo racionálne čísla). Táto viera bola otrasená objavom, že uhlopriečku jednotkového štvorca (tj štvorca, ktorého strany majú dĺžku 1), nemožno vyjadriť ako racionálne číslo. Tento objav bol spôsobený ich vlastnou Pythagorovou vetou, ktorá potvrdila, že štvorec na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov na ostatných dvoch stranách - v modernom zápise c 2 = a 2 + b 2. Na jednotkovom štvorci je uhlopriečkou prepona pravouhlého trojuholníka so stranami a = b = 1; preto, jeho miera je druhá odmocnina - 2 - iracionálne číslo. Pythagorejci na rozdiel od svojich vlastných úmyslov preukázali, že racionálne čísla nepostačujú na meranie ani jednoduchých geometrických objektov. (Pozri Sidebar: Incommensurables.) Ich reakciou bolo vytvoriť aritmetiku úsečiek, ako sa uvádza v knihe II Euclidových prvkov (cca 300 bce), ktorá zahŕňala geometrickú interpretáciu racionálnych čísel. Pre Grékov boli segmenty tratí všeobecnejšie ako čísla, pretože zahŕňali spojité aj diskrétne veličiny.
Druhá odmocnina asi 2 sa skutočne môže vzťahovať na racionálne čísla iba prostredníctvom nekonečného procesu. Uskutočnil to Euclid, ktorý študoval aritmetiku racionálnych čísel a čiarových segmentov. Jeho slávny euklidovský algoritmus, keď sa uplatňuje na pár prirodzených čísel, vedie v konečnom počte krokov k ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi. Ak sa však aplikuje na pár úsečiek s iracionálnym pomerom, ako napríklad druhá odmocnina 2 a 1, ukončí sa. Euclid dokonca použil túto nedokončenú vlastnosť ako kritérium iracionality. Iracionalita tak spochybnila grécky pojem číslo tým, že ich prinútila zaoberať sa nekonečnými procesmi.
Zenoove paradoxy a koncept pohybu
Rovnako ako druhá odmocnina z2 bola výzvou pre grécky koncept počtu, Zenoove paradoxy boli výzvou pre ich koncept pohybu. Vo svojej fyzike (cca 350 bce) Aristoteles citoval Zena ako povesť:
Neexistuje žiadny pohyb, pretože to, čo sa pohybuje, musí doraziť do stredu [kurzu] predtým, ako sa dostane na koniec.
Argumenty Zena sú známe iba prostredníctvom Aristotela, ktorý ich citoval hlavne preto, aby ich vyvrátil. Zeno podľa všetkého znamenalo, že aby sa niekto dostal kamkoľvek, musí ísť najskôr na pol cesty a pred touto štvrtinou cesty a pred touto oseminou cesty a tak ďalej. Pretože tento proces polovičných vzdialeností by pokračoval do nekonečna (koncepcia, ktorú Gréci neakceptujú, ako je to možné), Zeno tvrdil, že „dokáže“, že realita pozostáva z nemennej bytosti. Napriek tomu, že Gréci nenávideli nekonečno, zistili, že tento koncept bol nevyhnutný v matematike nepretržitých magnitúd. Takže uvažovali o nekonečne čo najjemnejšie, v logickom rámci zvanom teória proporcií a použitie metódy vyčerpania.
Teória proporcií bola vytvorená Eudoxom asi 350 bce a bola zachovaná v knihe V Euklidovských prvkov. Stanovil presný vzťah medzi racionálnymi veličinami a svojvoľnými veličinami definovaním dvoch veličín, aby boli rovnaké, ak racionálne veličiny menšie ako boli rovnaké. Inými slovami, dve veľkosti boli odlišné iba vtedy, ak medzi nimi existovala racionálna veľkosť. Táto definícia slúžila matematikom dve tisícročia a vydláždila cestu pre aritmetizáciu analýzy v 19. storočí, v ktorej boli ľubovoľné čísla presne definované z hľadiska racionálnych čísel. Teória proporcií bola prvým dôsledným spracovaním koncepcie limitov, ideou, ktorá je jadrom modernej analýzy. V moderných termínoch Eudoxusova teória definovala ľubovoľné veľkosti ako limity racionálnych veľkostí a základné vety o súčte, rozdieloch a súčinoch veľkostí boli rovnocenné s teóriami o súčte, rozdieloch a súčinoch limitov.
