Hippokrates z Chios (fl. Cca. 460 bc) preukázal, že oblasti v tvare mesiaca medzi kruhovými oblúkmi, známe ako luny, sa dajú vyjadriť presne ako priamočiara oblasť alebo kvadratúra. V nasledujúcom jednoduchom prípade majú dve lúny vyvinuté okolo strán pravouhlého trojuholníka kombinovanú plochu rovnú ploche trojuholníka.
-
Počnúc pravým ΔABC, nakreslite kruh, ktorého priemer sa zhoduje s AB (strana c), prepona. Pretože akýkoľvek pravouhlý trojuholník nakreslený priemerom kruhu pre svoju preponu musí byť vpísaný v kruhu, na kruhu musí byť C.
-
Nakreslite polkruhy s priemermi AC (strana b) a BC (strana a) ako na obrázku.
-
Označte výsledné luny L 1 a L 2 a výsledné segmenty S 1 a S 2, ako je to znázornené na obrázku.
-
Teraz sa musí súčet lunes (L 1 a L 2) rovnať súčtu polkruhov (L 1 + S 1 a L 2 + S 2), ktoré ich obsahujú, mínus dva segmenty (S 1 a S 2). Tak, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (/ 2) 2 - S 2 (od plocha kruhu je n krát štvorec polomeru).
-
Súčet segmentov (S 1 a S 2) sa rovná oblasti polkruhu na základe AB mínus plocha trojuholníka. Tak, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Dosadením výraz v kroku 5 do kroku 4 a vytknutím bežných podmienok, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - C 2) + ΔABC.
-
Vzhľadom k tomu, ∠ACB = 90 °, je 2 + b 2 - c 2 = 0, podľa Pytagorovej vety. Tak, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippokratom sa podarilo utvoriť niekoľko druhov lun, niektoré na oblúkoch väčších a menších ako polkruh, a naznačil, aj keď možno neveril, že jeho metóda by mohla ohraničiť celý kruh. Na konci klasického veku Boethius (c. Ad 470–524), ktorého latinské preklady útržkov Euklidov by nechali svetlo geometrie blikať pol milénium, spomenul, že niekto dosiahol kvadratúru kruhu. Či neznámy génius použil luny alebo nejakú inú metódu, nie je známe, pretože z dôvodu nedostatku priestoru Boethius demonštráciu nedal. Vyslal teda výzvu kvadratúry kruhu spolu s fragmentmi geometrie, ktoré boli zjavne užitočné pri jeho uskutočňovaní. Európania držali nešťastnú úlohu až do osvietenstva. Nakoniec, v roku 1775, Parížska akadémia vied, ktorá už bola v mnohých riešeniach, ktoré sa jej predložili, už nesledovala chyby, odmietla mať čo do činenia s hranatými kruhmi.
