Logické a metalogické
V jednom zmysle sa logika musí identifikovať pomocou predikátového počtu prvého poriadku, počtu, v ktorom sú premenné obmedzené na jednotlivcov fixnej domény - hoci môže obsahovať aj logiku identity, symbolizovanú „=“, ktorá berie bežné vlastnosti identity ako súčasť logiky. V tomto zmysle Gottlob Frege dosiahol formálny počet logík už v roku 1879. Niekedy je logika chápaná tak, že zahŕňa aj predikátové kalkulácie vyššieho poriadku, ktoré pripúšťajú premenné vyšších typov, ako sú napríklad premenné predikátov (alebo triedy a vzťahy)) a tak ďalej. Potom je to malý krok k zahrnutiu teórie množín a v skutočnosti sa teória axiomatických množín často považuje za súčasť logiky. Na účely tohto článku je však vhodnejšie obmedziť diskusiu na logiku v prvom zmysle.
Je ťažké oddeliť významné nálezy v logike od zistení v metalogickom jazyku, pretože všetky teorémy záujmu logikov sú o logike, a preto patria k metalogickým. Ak p je matematická veta - najmä jedna o logike - a P je spojenie matematických axiómov použitých na preukázanie p, potom sa každé p môže zmeniť na teorém „logicky nie-P alebo p“. Matematika sa však nerobí tým, že sa výslovne vykonávajú všetky kroky, ktoré sú logicky formalizované; výber a intuitívne pochopenie axiómov je dôležité pre matematiku aj pre metamatematiku. Skutočné odvodenia v logike, ako napríklad tie, ktoré uskutočnili tesne pred prvou svetovou vojnou Alfred North Whitehead a Bertrand Russell, majú pre logikov malý vnútorný význam. Preto by sa mohlo zdať zbytočné zaviesť pojem metalogický. V súčasnej klasifikácii je však metalogická chápaná tak, že sa zaoberá nielen zisteniami o logických kalkulách, ale aj štúdiom formálnych systémov a formálnych jazykov všeobecne.
Bežný formálny systém sa líši od logického počtu tým, že systém má obvykle zamýšľanú interpretáciu, zatiaľ čo logický počet úmyselne ponecháva otvorené interpretácie. Takto sa hovorí napríklad o pravde alebo nepravdivosti viet vo formálnom systéme, ale s ohľadom na logický počet sa hovorí o platnosti (tj pravdivosti vo všetkých výkladoch alebo vo všetkých možných svetoch) a o uspokojivosti (alebo mať model - tj byť pravdivý v určitej interpretácii). Úplnosť logického počtu má preto úplne iný význam ako význam formálneho systému: logický počet umožňuje veľa viet, takže ani veta, ani jej negácia nie je veta, pretože v niektorých interpretáciách je pravdivá a v iných nepravdivá a vyžaduje iba to, aby každá platná veta bola veta.
