Matematika Besselovej funkcie

Besselova funkcia, tiež nazývaná funkcia valca, ktorákoľvek zo súboru matematických funkcií systematicky odvodených okolo roku 1817 nemeckým astronómom Friedrichom Wilhelmom Besselom počas skúmania riešení jednej z Keplerových rovníc planetárneho pohybu. Konkrétne funkcie množiny už skôr formulovali švajčiarski matematici Daniel Bernoulli, ktorý študoval kmitanie reťaze zavesenej na jednom konci, a Leonhard Euler, ktorý analyzoval vibrácie natiahnutej membrány.

Potom, čo Bessel zverejnil svoje zistenia, ďalší vedci zistili, že funkcie sa objavili v matematických opisoch mnohých fyzikálnych javov, vrátane toku tepla alebo elektriny v pevnom valci, šírenia elektromagnetických vĺn pozdĺž drôtov, difrakcie svetla, pohybov tekutín. a deformácie elastických telies. Jeden z týchto vyšetrovateľov, Lord Rayleigh, tiež umiestnil Besselove funkcie do širšieho kontextu tým, že ukázal, že vznikajú v riešení Laplaceovej rovnice (qv), keď je táto formulovaná vo valcovitých (skôr ako karteziánskych alebo sférických) súradniciach.

Konkrétne je Besselova funkcia riešením diferenciálnej rovnice

ktorý sa nazýva Besselova rovnica. Pre integrálne hodnoty n sú Besselove funkcie

Graf J ₀ (x) vyzerá ako graf tlmenej krivky kosínu a graf J ₁ (x) vyzerá ako graf tlmenej sinusovej krivky (pozri graf).

Určité fyzikálne problémy vedú k diferenciálnym rovniciam analogickým s Besselovej rovnicou; ich riešenia majú formu kombinácií Besselových funkcií a nazývajú sa Besselove funkcie druhého alebo tretieho druhu.