Riemannova zeta funkcionálna matematika

Riemannova zeta funkcia, funkcia užitočná v teórii čísel na skúmanie vlastností prvočísel. Napísané ako ζ (x), pôvodne bolo definované ako nekonečná sériaζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. Ak x = 1, táto séria sa nazýva harmonická séria, ktorá rastie bez obmedzenia - tj jej súčet je nekonečný. Pri hodnotách x väčších ako 1 sa séria konvertuje na konečné číslo, keď sa sčítajú po sebe idúce výrazy. Ak je x menšie ako 1, súčet je opäť nekonečný. Funkcia zeta bola známa švajčiarskemu matematikovi Leonhardovi Eulerovi v roku 1737, ale najprv ho dôkladne študoval nemecký matematik Bernhard Riemann.

V roku 1859 publikoval Riemann dokument, v ktorom sa uvádza explicitný vzorec pre počet prvočíselníkov až do vopred stanoveného limitu - rozhodnuté zlepšenie oproti približnej hodnote danej teorémom prvočísla. Riemannov vzorec však závisel od poznania hodnôt, pri ktorých sa zovšeobecnená verzia funkcie zeta rovná nule. (Funkcia Riemann zeta je definovaná pre všetky komplexné čísla - čísla tvaru x + iy, kde i = druhá odmocnina √ 1 - s výnimkou riadku x = 1.) Riemann vedel, že táto funkcia sa rovná nule pre všetky záporné párne celé čísla −2, −4, −6,

(tzv. triviálne nuly) a že má nekonečný počet núl v kritickom pásme zložitých čísel medzi čiarami x = 0 a x = 1, a tiež vedel, že všetky netriviálne nuly sú symetrické s ohľadom na kritické riadok x = ¹ / ₂. Riemann predpokladal, že všetky netriviálne nuly sú na kritickej hranici, domnienka, ktorá sa následne stala známou ako Riemannova hypotéza.

V roku 1900 nemecký matematik David Hilbert nazval Riemannovu hypotézu jednou z najdôležitejších otázok vo všetkých matematikách, čo naznačuje jej zahrnutie do jeho vplyvného zoznamu 23 nevyriešených problémov, s ktorými napadol matematikov 20. storočia. V roku 1915 anglický matematik Godfrey Hardy dokázal, že na kritickej hranici sa vyskytuje nekonečný počet núl, a do roku 1986 bolo na kritickej hranici ukázaných prvých 1 500 000 001 netriviálnych núl. Aj keď sa hypotéza ešte môže ukázať ako nepravdivá, skúmanie tohto zložitého problému obohatilo porozumenie komplexných čísel.