Kurt Gödel Americký matematik

Kurt Gödel, Gödel tiež hláskoval Goedela, (narodený 28. apríla 1906, Brünn, Rakúsko-Uhorsko [teraz Brno, Česko] - zomrel 14. januára 1978, Princeton, NJ, USA), rakúsky narodeného matematika, logika a filozof, ktorý získal to, čo môže byť najdôležitejším matematickým výsledkom 20. storočia: jeho slávna veta o neúplnosti, v ktorej sa uvádza, že v ktoromkoľvek axiomatickom matematickom systéme existujú návrhy, ktoré nemožno dokázať alebo vyvrátiť na základe axiómov v tomto systéme; takýto systém teda nemôže byť súčasne úplný a konzistentný. Tento dôkaz preukázal, že Gödel je jedným z najväčších logistov od Aristotela a jeho následky sa dnes pociťujú a diskutuje sa o nich.

základy matematiky: Gödel

V Hilbertovom programe bola implikovaná nádej, že syntaktická predstava o preukázateľnosti zachytí sémantickú predstavu pravdy. Gödel,

Skorý život a kariéra

Gödel trpel niekoľkými obdobiami zlého zdravia ako dieťa, nasledoval záchvat vo veku 6 rokov s reumatickou horúčkou, čo ho nechalo strach, že má nejaké zvyškové srdcové problémy. Jeho celoživotné znepokojenie nad jeho zdravím pravdepodobne prispelo k jeho prípadnej paranoji, ktorá zahŕňala posadnuté čistenie jeho riadu a obavy z čistoty jeho jedla.

Ako nemecky hovoriaci Rakúšan sa Gödel náhle ocitol v novovytvorenej krajine Československa, keď sa na konci prvej svetovej vojny v roku 1918 rozpadlo Rakúsko-Uhorsko. O šesť rokov neskôr však odišiel študovať do Rakúska, na Viedenskej univerzite, kde v roku 1929 získal doktorát z matematiky. Nasledujúci rok sa pripojil k fakulte na viedenskej univerzite.

Počas tohto obdobia bola Viedeň jedným z intelektuálnych centier sveta. Bol domovom známeho viedenského kruhu, skupiny vedcov, matematikov a filozofov, ktorí podporili naturalistický, silne empirický a antimetafyzický pohľad známy ako logický pozitivizmus. Gödelov dizertačný poradca, Hans Hahn, bol jedným z vodcov viedenského kruhu a do skupiny predstavil svojho hviezdneho študenta. Gödelove vlastné filozofické názory sa však nemohli líšiť od názorov pozitivistov. Predplatil platonizmus, teizmus a dualizmus mysle a tela. Okrem toho bol tiež trochu duševne labilný a trpel paranoiou - problém, ktorý sa zhoršoval so starnutím. Jeho kontakt s členmi viedenského kruhu ho tak zanechal pocitom, že 20. storočie bolo voči jeho myšlienkam nepriateľské.

Gödelove vety

Vo svojej dizertačnej práci „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls“ („O úplnosti matematického počtu“), publikovanej v mierne skrátenej forme v roku 1930, Gödel preukázal jeden z najdôležitejších logických výsledkov storočia - vskutku, po celú dobu - menovite teória úplnosti, ktorá stanovila, že klasická logika prvého poriadku alebo predikátový počet je úplná v tom zmysle, že všetky logické pravdy prvého poriadku sa dajú dokázať v štandardných systémoch kontroly prvého poriadku.

Toto však nebolo nič v porovnaní s tým, čo Gödel publikoval v roku 1931 - konkrétne teorémom neúplnosti: „Über formálne unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ („Formálne nerozhodnuteľné návrhy Principia Mathematica a súvisiace systémy“). Zhruba povedané, táto veta preukázala výsledok, že nie je možné použiť axiomatickú metódu na zostavenie matematickej teórie v ktoromkoľvek odbore matematiky, ktorý zahŕňa všetky pravdy v tomto odbore matematiky. (V Anglicku strávili Alfred North Whitehead a Bertrand Russell roky programom, ktorý publikovali ako Principia Mathematica v troch zväzkoch v rokoch 1910, 1912 a 1913.) Napríklad je nemožné prísť s axiomatickou matematickou teóriou ktorý zachytáva všetky pravdy o prirodzených číslach (0, 1, 2, 3,

). Bol to nesmierne dôležitý negatívny výsledok, pretože pred rokom 1931 sa mnoho matematikov snažilo presne to urobiť - skonštruovať axiómové systémy, ktoré by sa mohli použiť na preukázanie všetkých matematických pravdy. Skutočne, niekoľko známych logikov a matematikov (napr. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) strávilo na tomto projekte značnú časť svojej kariéry. Nanešťastie pre nich Gödelova veta zničila celý tento axiomatický výskumný program.

Medzinárodná hviezda a presťahovať sa do Spojených štátov

Po vydaní vety o neúplnosti sa Gödel stal medzinárodne známou intelektuálnou osobnosťou. Niekoľkokrát odcestoval do Spojených štátov a intenzívne prednášal na Princetonskej univerzite v New Jersey, kde sa stretol s Albertom Einsteinom. Toto bol začiatok blízkeho priateľstva, ktoré by trvalo až do Einsteinovej smrti v roku 1955.

Avšak aj v tomto období sa Gödelovo duševné zdravie začalo zhoršovať. Trpel depresiami a po zavraždení Moritza Schlicka, jedného z vodcov viedenského kruhu, prostredníctvom rozrušeného študenta bol Gödel nervózne narušený. V nasledujúcich rokoch utrpel ešte niekoľko ďalších.

Po tom, ako sa nacistické Nemecko 12. marca 1938 pripojilo k Rakúsku, sa Gödel ocitol v dosť nepríjemnej situácii, čiastočne preto, že mal dlhoročnú históriu blízkych vzťahov s rôznymi židovskými členmi viedenského kruhu (skutočne bol napadnutý na uliciach Viedne). mladí ľudia, ktorí si mysleli, že je Žid) a čiastočne preto, že mu náhle hrozilo, že bude braný do nemeckej armády. 20. septembra 1938 sa Gödel oženil s Adele Nimbursky (rodená Porkert) a keď vypukla druhá svetová vojna o rok neskôr, utiekol s manželkou do Európy, vzal transsibírsku železnicu cez Áziu a plavil sa cez Tichý oceán, a potom pokračoval ďalším vlakom cez Spojené štáty do Princetonu v štáte NJ, kde sa s pomocou Einsteina ujal pozície v novovytvorenom inštitúte pre pokročilé štúdiá (IAS). Zvyšok svojho života strávil prácou a učením na IAS, od ktorého odišiel v roku 1976. Gödel sa stal občanom USA v roku 1948. (Einstein sa zúčastnil na jeho vypočutí, pretože Gödelove správanie bolo dosť nepredvídateľné a Einstein sa obával, že Gödel by mohol sabotovať jeho vlastný prípad.)

V roku 1940, iba niekoľko mesiacov po príchode do Princetonu, Gödel publikoval ďalší klasický matematický dokument „Konzistentnosť axiómu výberu a všeobecnej hypotézy kontinua s axiómami teórie množín“, ktorý dokázal, že axióma výberu a kontinuum Hypotéza je v súlade so štandardnými axiómami (ako sú Zermelo-Fraenkelove axiómy) teórie množín. Toto potvrdilo polovicu dohady Gödelho - menovite, že hypotéza kontinua nemohla byť dokázaná ako pravdivá alebo nepravdivá v štandardných teóriách množín. Gödelov dôkaz ukázal, že v týchto teóriách sa nedalo dokázať falošné. V roku 1963 americký matematik Paul Cohen preukázal, že sa nedá dokázať ani v týchto teóriách, čo potvrdzuje Gödelovu dohadu.

V roku 1949 Gödel tiež významne prispel k fyzike, čo dokazuje, že Einsteinova teória všeobecnej relativity umožňuje možnosť cestovania v čase.