Grafová matematika

Graf, grafické znázornenie štatistických údajov alebo funkčného vzťahu medzi premennými. Grafy majú tú výhodu, že ukazujú všeobecné tendencie v kvantitatívnom správaní údajov, a preto slúžia na predikčnú funkciu. Ako obyčajné aproximácie však môžu byť nepresné a niekedy zavádzajúce.

číselná hra: Grafy a siete

Slovný graf sa môže vzťahovať na známe krivky analytickej geometrie a teórie funkcií, alebo sa môže vzťahovať na jednoduché geometrické obrázky pozostávajúce

Väčšina grafov používa dve osi, v ktorých vodorovná os predstavuje skupinu nezávislých premenných a zvislá os predstavuje skupinu závislých premenných. Najbežnejším grafom je prerušovaná čiara, kde nezávislá premenná je zvyčajne faktor času. Dátové body sú vynesené do grafu a potom spojené s úsečkami, aby sa získala približná krivka napríklad sezónnych výkyvov v trendoch predaja. Dátové body však nemusia byť spojené prerušovanou čiarou. Namiesto toho môžu byť jednoducho zoskupené okolo strednej čiary alebo krivky, ako je to často v experimentálnej fyzike alebo chémii.

Ak nezávislá premenná nie je výslovne časová, môže sa na zobrazenie samostatných číselných veličín vo vzťahu k sebe použiť stĺpcový graf. Na ilustráciu relatívnych populácií rôznych národov sa môže použiť napríklad rad paralelných stĺpcov alebo stĺpcov. Dĺžka každého stĺpca by bola úmerná počtu obyvateľov príslušnej krajiny, ktorú zastupuje. Demografický pracovník tak mohol na prvý pohľad vidieť, že čínska populácia je o 30 percent väčšia ako jej najbližší rivát, India.

Rovnaké informácie sa môžu vyjadriť vo vzťahu čiastočne k celku pomocou kruhového grafu, v ktorom je kruh rozdelený na sekcie, pričom veľkosť alebo uhol každého sektora je priamo úmerná percentuálnemu podielu z celku zastupuje. Takýto graf by ukázal rovnaké relatívne veľkosti obyvateľstva ako stĺpcový graf, ale tiež by ilustroval, že približne jedna štvrtina svetovej populácie žije v Číne. Tento typ grafu, známy tiež ako koláčový graf, sa najčastejšie používa na zobrazenie rozdelenia položiek v rozpočte.

V analytickej geometrii sa grafy používajú na mapovanie funkcií dvoch premenných v karteziánskom súradnicovom systéme, ktorý sa skladá z horizontálnej osi x alebo osi x a vertikálnej osi y alebo osi. Každá os je skutočná čiara a ich priesečník v nulovom bode každej sa nazýva počiatok. Graf v tomto zmysle je lokus všetkých bodov (x, y), ktoré spĺňajú konkrétnu funkciu.

Najjednoduchšie funkcie na graf sú lineárne rovnice alebo rovnice prvého stupňa, z ktorých najjednoduchšia je y = x. Graf tejto rovnice je priamka, ktorá prechádza dolným ľavým a pravým horným kvadrantom grafu a prechádza východiskovým bodom pod uhlom 45 stupňov. Pravidelne tvarované krivky, ako sú paraboly, hyperboly, kružnice a elipsy, sú grafy rovníc druhého stupňa. Tieto a ďalšie nelineárne funkcie sú niekedy graficky znázornené na logaritmickej mriežke, kde bod na osi nie je samotnou premennou, ale logaritmom tejto premennej. Parabola s karteziánskymi súradnicami sa tak môže stať priamkou s logaritmickými súradnicami.

V niektorých prípadoch polárne súradnice (qv) poskytujú vhodnejší grafický systém, pričom rad sústredných kružníc s priamkami cez ich spoločný stred alebo pôvod slúži na lokalizáciu bodov v kruhovej rovine. Karteziánske aj polárne súradnice sa môžu rozšíriť tak, aby predstavovali tri rozmery zavedením tretej premennej do príslušných algebraických alebo trigonometrických funkcií. Zahrnutie troch osí vedie v prvom prípade k izometrickému grafu pre pevné telieska a ku grafu so sférickými súradnicami pre zakrivené povrchy.