Formálna logika

Sémantické tabuľky

Od osemdesiatych rokov získava popularita ďalšia technika na určovanie platnosti argumentov v PC alebo LPC, a to vďaka ľahkému učeniu sa, ako aj priamej implementácii pomocou počítačových programov. Pôvodne navrhovaný holandským logikom Evertom W. Bethom, bol viac rozvinutý a propagovaný americkým matematikom a logikom Raymondom M. Smullyanom. Vychádzajúc z pozorovania, že nie je možné, aby boli platné argumenty pravdivé, zatiaľ čo záver je nesprávny, táto metóda sa pokúša interpretovať (alebo vyhodnotiť) priestory takým spôsobom, že sú všetky súčasne uspokojené a že sú zamietnuté. záver je tiež uspokojený. Úspech v takom úsilí by ukázal, že argument je neplatný, zatiaľ čo ak sa nenájde taký výklad, preukáže sa, že je platný.

Konštrukcia sémantického tabla prebieha nasledovne: vyjadrujú priestor a negáciu záveru argumentu v PC, pričom ako výrokové spojky používajú iba negáciu (∼) a disjunkciu (∨). Eliminujte každý výskyt dvoch negatívnych znakov v sekvencii (napr. ∼∼∼∼∼a sa stáva ∼a). Teraz zostavte stromový diagram, ktorý sa rozvetví nadol, takže každý disjunkcia je nahradená dvoma vetvami, jedna pre ľavý disjunkt a druhá pre pravý. Pôvodná disjunkcia je pravdivá, ak je ktorákoľvek vetva pravdivá. Odkaz na De Morganove zákony ukazuje, že negácia disjunkcie je pravdivá len v prípade, že sú negácie oboch disjunkcií pravdivé [tj ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Toto sémantické pozorovanie vedie k pravidlu, že negácia disjunkcie sa stáva jednou vetvou obsahujúcou negáciu každého disjunktu:

Zvážte nasledujúci argument:

napísať:

Teraz vyrazte rozpojenie a vytvorte dve vetvy:

Iba ak sú všetky vety aspoň v jednej vetve pravdivé, je možné, aby pôvodné priestory boli pravdivé a záver nepravdivý (rovnako ako v prípade zamietnutia záveru). Sledovaním čiary smerom nahor v každej vetve po vrchol stromu sa zistí, že žiadne ocenenie v ľavej vetve nebude mať za následok, že všetky vety v tejto vetve dostanú hodnotu true (kvôli prítomnosti a a ∼a)., Podobne v pravej vetve prítomnosť b a ∼b znemožňuje, aby z ocenenia vyústili všetky vety vetvy, ktorá získa hodnotu. Toto sú všetky možné vetvy; preto nie je možné nájsť situáciu, v ktorej sú priestory pravdivé a záver nepravdivý. Pôvodný argument je preto platný.

Túto techniku ​​je možné rozšíriť aj na iné spojivá:

Okrem toho sa v LPC musia zaviesť pravidlá na okamžité kvantifikovanie kvantitatívnych testov. Je zrejmé, že akákoľvek vetva obsahujúca (∀x) ϕx a ∼ϕy je taká, v ktorej nie všetky vety v tejto vetve môžu byť súčasne splnené (za predpokladu ω-konzistencie; pozri metalogické). Ak opäť nedokážu vyhovieť všetky vetvy, pôvodný argument je platný.

Špeciálne systémy LPC

LPC, ako je vysvetlené vyššie, sa môže modifikovať obmedzením alebo rozšírením rozsahu wugov rôznymi spôsobmi:

• 1.Čiastkové systémy LPC. Uvádzame niektoré z dôležitejších systémov vyrábaných obmedzením:

  • a. Môže sa požadovať, aby každá predikátová premenná bola monadická, pričom stále umožňuje nekonečný počet individuálnych a predikátových premenných. Atómové zväzky sú potom jednoducho tie, ktoré pozostávajú z predikátovej premennej nasledovanej jednou individuálnou premennou. V opačnom prípade zostanú pravidlá formácie rovnaké ako predtým a definícia platnosti je rovnaká ako predtým, hoci je zrejmé, že sú zjednodušené. Tento systém je známy ako monadický LPC; poskytuje logiku vlastností, ale nie vzťahov. Jednou z dôležitých charakteristík tohto systému je, že je rozhodujúci. (Zavedenie aj jedinej dyadickej predikátovej premennej by však urobilo systém nerozhodnuteľným a v skutočnosti by sa dokonca aj systém, ktorý obsahuje iba jednu dyadickú predikátovú premennú a žiadne ďalšie predikátové premenné vôbec nepreukázal.)

  • bA ešte jednoduchší systém môže byť vytvorený požiadavkou (1), aby každá predikátová premenná bola monadická, (2) aby bola použitá iba jedna jednotlivá premenná (napr. x), (3) aby bol každý výskyt tejto premennej viazaný a (4) že žiadny kvantifikátor sa nevyskytuje v rozsahu žiadneho iného. Príkladmi týchto systémov sú (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Čokoľvek je ϕ je ψ aj χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Existuje niečo, čo nie je ψ, ale nie ψ“); a (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Ak je čokoľvek ϕ je ψ, potom niečo je ϕ aj ψ“). Zápis pre tento systém možno zjednodušiť vynechaním x všade a napísaním ∃ϕ pre „Niečo je ϕ“, ∀ (ϕ ⊃ ψ) pre „Čokoľvek ϕ je ψ“ a tak ďalej. Aj keď je tento systém ešte viac základný ako monadický LPC (ktorého je fragmentom), v ňom môžu byť zastúpené formy širokého spektra záverov. Je to tiež rozhodujúci systém a môžu byť stanovené základné rozhodovacie postupy.

• 2.Rozšírenie LPC. Prepracovanejšie systémy, v ktorých je možné vyjadriť širšiu škálu tvrdení, sa skonštruovali pridaním nových symbolov rôznych typov do LPC. Najjednoduchšie z týchto doplnkov sú:

  • a.Jeden alebo viac samostatných konštánt (povedzme a, b,

    ): tieto konštanty sa interpretujú ako mená konkrétnych jednotlivcov; formálne sa líšia od jednotlivých premenných tým, že sa nemôžu vyskytnúť v kvantifikátoroch; napr. (∀x) je kvantifikátor, ale (∀a) nie je.

  • b.Jeden alebo viac predikátových konštánt (povedzme A, B,

    ), každý z určitého stupňa, ktorý sa považuje za označenie konkrétnych vlastností alebo vzťahov.

Ďalší možný dodatok, ktorý si vyžaduje trochu podrobnejšie vysvetlenie, pozostáva zo symbolov určených na označenie funkcií. Pojem funkcie možno na súčasné účely dostatočne vysvetliť takto. Hovorí sa, že existuje určitá funkcia argumentov n (alebo stupňa n), keď existuje pravidlo, ktoré špecifikuje jedinečný objekt (nazývaný hodnota funkcie) vždy, keď sú špecifikované všetky argumenty. Napríklad v oblasti ľudských bytostí je „matka -“ monadická funkcia (funkcia jedného argumentu), pretože pre každú ľudskú bytosť existuje jedinečný jedinec, ktorý je jeho matkou; a v oblasti prirodzených čísel (tj 0, 1, 2,

), „Súčet - a -“ je funkciou dvoch argumentov, pretože pre každú dvojicu prirodzených čísel existuje prirodzené číslo, ktoré je ich súčtom. Funkčný symbol možno považovať za vytvorenie mena z iných mien (jeho argumenty); teda vždy, keď x a y pomenujú čísla, „súčet xay“ tiež pomenuje číslo a podobne pre iné druhy funkcií a argumentov.

Aby sa umožnilo vyjadrenie funkcií v LPC, je možné pridať:

• c.Jedna alebo viac funkčných premenných (povedzme f, g,

  ) alebo jednu alebo viac funkčných konštánt (povedzme, F, G,

  ) alebo oboje, každý z určitého stupňa. Prvý z nich sa interpretuje ako rozsah v rozsahu funkcií uvedených stupňov a druhý stupeň označuje konkrétne funkcie tohto stupňa.

Ak sa do LPC pridajú niektoré alebo všetky a – c, je potrebné upraviť pravidlá formovania uvedené v prvom odseku oddielu na dolnom predikáte (pozri vyššie Dolný predikát) na umožnenie začlenenia nových symbolov do wffs. Toto sa dá urobiť nasledovne: Termín je najprv definovaný ako (1) individuálna premenná alebo (2) individuálna konštanta alebo (3) akýkoľvek výraz tvorený predponou funkčnej premennej alebo funkčnej konštanty stupňa n na akékoľvek n výrazy (tieto výrazy - argumenty funkčného symbolu - sú zvyčajne oddelené čiarkami a uzavreté v zátvorkách). Formačné pravidlo 1 sa potom nahrádza takto:

• 1 '. Výraz pozostávajúci z predikátovej premennej alebo predikátovej konštanty stupňa n nasledovanej n výrazmi je wff.

Axiomatický základ uvedený v oddiele o axiomatizácii LPC (pozri vyššie Axiomatizácia LPC) tiež vyžaduje túto zmenu: v schéme 2 axiómu je možné nahradiť ľubovoľný výraz, keď sa vytvorí β, za predpokladu, že žiadna premenná, ktorá je voľná v sa stáva viazaným v p. Nasledujúce príklady ilustrujú použitie vyššie uvedených doplnkov k LPC: nech sú hodnoty jednotlivých premenných prirodzené čísla; nech jednotlivé konštanty aab znamenajú čísla 2 a 3; nech Znamená „je prvotný“; a nech F predstavuje dyadickú funkciu „súčet“. Potom AF (a, b) vyjadruje tvrdenie „Suma 2 a 3 je prvoradá“ a (∃x) AF (x, a) vyjadruje tvrdenie „Existuje číslo také, že jeho súčet a 2 je prvočíselný."

Zavedenie konštánt je obyčajne sprevádzané pridaním špeciálnych axiómov obsahujúcich tieto konštanty k axiomatickému základu, ktoré sú určené na vyjadrenie princípov, ktoré držia objekty, vlastnosti, vzťahy alebo funkcie, ktoré sú nimi reprezentované - hoci nevlastnia objekty, vlastnosti, vzťahy alebo funkcie všeobecne. Môže sa napríklad rozhodnúť, že konštanta A bude predstavovať dyadický vzťah „je väčší ako“ (takže Axy znamená „x je väčšie ako y“ atď.). Tento vzťah je na rozdiel od mnohých iných prechodný; tj, ak je jeden objekt väčší ako druhý a ten druhý je zas väčší ako tretina, potom prvý je väčší ako tretí. Preto nasledujúce špeciálne axióma schéma môže byť pridané: v prípade, t ₁, t ₂, a t ₃ sú všetky podmienky, potom sa (Na ₁ t ₂ · Na ₂ t ₃) ⊃ Na ₁ t ₃ je axióma. Takýmto spôsobom môžu byť konštruované systémy na vyjadrenie logických štruktúr rôznych konkrétnych disciplín. Oblasť, v ktorej sa vykonala väčšina tohto druhu, je aritmetika prirodzeného čísla.

PC a LPC sú niekedy kombinované do jedného systému. To sa dá urobiť najjednoduchšie pridaním výrokových premenných do zoznamu primitív LPC, pridaním pravidla formácie v tom zmysle, že samotná výroková premenná je Wff, a vypustením výrazu „LPC“ v schéme axiómu 1. ako (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx a (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-s-identity. Slovo „je“ sa nie vždy používa rovnakým spôsobom. V propozícii, ako je napríklad (1) „Sokrates je snub-nosed“, výraz predchádzajúci „is“ pomenúva jednotlivca a výraz, ktorý za ním nasleduje, predstavuje vlastnosť priradenú tomuto jednotlivcovi. Ale v tvrdení, ako je (2) „Sokrates je aténsky filozof, ktorý pil hemlock“, výrazy predchádzajúce a nasledujúce „sú“ pomenujú jednotlivcov a zmysel celého tvrdenia je, že jednotlivec pomenovaný prvým je rovnaká osoba ako jednotlivec pomenovaný druhou osobou. Teda v 2 sa „môže“ rozšíriť na „je ten istý jednotlivec ako“, zatiaľ čo v 1 to nemôže. Ako sa používa v 2, „je“ znamená dyadický vzťah - menovite identitu -, ktorý tvrdenie tvrdí, že sa drží medzi dvoma jednotlivcami. Návrh totožnosti sa má v tejto súvislosti chápať tak, že netvrdí viac; najmä sa nemá brať na vedomie, že dva pomenovacie výrazy majú rovnaký význam. Veľmi diskutovaným príkladom na ilustráciu tohto posledného bodu je „Ranná hviezda je večerná hviezda.“ Je nepravdivé, že výrazy „ranná hviezda“ a „večerná hviezda“ znamenajú to isté, je však pravda, že objekt, na ktorý sa prvý odkazuje, je rovnaký ako ten, ktorý sa nazýva prvý (planéta Venuša).

Aby bolo možné vyjadriť formy návrhov identity, k LPC sa pridá dyadická predikátová konštanta, pre ktorú je najbežnejšia notácia = (napísaná skôr ako skôr medzi jej argumenty). Zamýšľaná interpretácia x = y je taká, že x je rovnaký jednotlivec ako y a najvýhodnejšia hodnota je „x je identická s y“. Jeho negácia ∼ (x = y) sa bežne označuje ako x ≠ y. K vyššie uvedenému definovaniu modelu LPC (pozri vyššie Platnosť v LPC) sa teraz pridáva pravidlo (ktoré zjavne zodpovedá zamýšľanej interpretácii), že hodnota x = y má byť 1, ak ten istý člen D je priradené obidvom x a y a že inak má byť jeho hodnota 0; platnosť môže byť potom definovaná ako predtým. K axiomatickému základu pre LPC sa pridávajú tieto dodatky (alebo niektoré rovnocenné): axióma x = x a schéma axiómu, ktoré, kde a a b sú jednotlivé premenné a α a β, sa líšia len tým, že jedno alebo viac miest, kde a má voľný výskyt a, β má voľný výskyt b, (a = b) ⊃ (a ⊃ β) je axióm. Takýto systém je známy ako identita s nižším predikátom; môže sa samozrejme ďalej rozširovať inými spôsobmi uvedenými vyššie v časti „Rozšírenia LPC“, pričom v takom prípade môže byť ktorýkoľvek výraz argumentom.

Totožnosť je vzťah rovnocennosti; tj je reflexný, symetrický a prechodný. Jeho reflexivita je priamo vyjadrená v axióme x = x a vety, ktoré vyjadrujú jeho symetriu a transitivitu, sa dajú ľahko odvodiť z daného základu.

Niektoré časti LPC s identitou vyjadrujú výroky o počte vecí, ktoré majú daný majetok. „Aspoň jedna vec je ϕ“ by, samozrejme, už mohla byť vyjadrená (∃x) ϕx; „Najmenej dve odlišné (neidentické) veci sú ϕ“ sa teraz dajú vyjadriť (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); a postupnosť môže pokračovať zrejmým spôsobom. „Najviac jedna vec je ϕ“ (tj „Žiadne dve odlišné veci nie sú ϕ“)) možno vyjadriť negáciou posledne spomenutého wff alebo jeho ekvivalentom (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] a postupnosť sa môže ľahko pokračovať. Vzorec pre „Presne jedna vec je ϕ“ sa dá získať spojením vzorcov pre „Aspoň jedna vec je ϕ“ a „Najviac jedna vec je” “, ale jednoduchší ekvivalent Wff k tejto konjunkcii je (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], čo znamená „Je niečo, čo je ϕ, a všetko, čo je ϕ, je tá vec.“ Návrh „Presne dve veci sú ϕ“ môže byť reprezentovaný (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tj „Existujú dve neidentické veci, z ktorých každá je ϕ, a čokoľvek, čo je ϕ, je jedna alebo druhá z nich.“ Je zrejmé, že táto sekvencia sa môže tiež rozšíriť tak, aby poskytla vzorec pre „Presne n vecí je ϕ“ pre každé prirodzené číslo n. Je vhodné skrátiť wff pre „Presne jedna vec je ϕ“ až (∃! X) ϕx. Tento špeciálny kvantifikátor je často čítaný nahlas ako „E-Shriek x“.

Definitívne opisy

Ak určitá vlastnosť ϕ patrí k jednému a iba jednému objektu, je vhodné mať výraz, ktorý daný objekt pomenúva. Bežným zápisom na tento účel je (ιx) ϕx, ktorý sa môže čítať ako „vec, ktorá je ϕ“ alebo stručne ako „the ϕ“. Všeobecne platí, že ak a je akákoľvek individuálna premenná a a je akékoľvek wff, (ιa) α potom predstavuje jedinú hodnotu a, ktorá robí α pravdivou. Výraz „tak a tak“ sa nazýva definitívny opis; a (ιx), známy ako operátor opisu, možno považovať za tvorcu mena jednotlivca z ponuky. (ιx) je analogický s kvantifikátorom v tom, že keď je predponou k wff a, viaže každý voľný výskyt x v a. Prípustné je aj vynulovanie viazaných premenných; v najjednoduchšom prípade je možné (ιx) ϕx a (ιy) cany jednoducho prečítať ako „ϕ“.

Pokiaľ ide o pravidlá formovania, definitívne opisy sa môžu začleniť do LPC tak, že sa výrazy formy (ιa) α počítajú ako termíny; pravidlo 1 'vyššie v časti „Rozšírenia LPC“ im potom umožní vyskytovať sa v atómových vzorcoch (vrátane vzorcov identity). „Φ je (tj má vlastnosť) ψ“, potom možno vyjadriť ako ψ (ιx) ϕx; „Y je (rovnaký jednotlivec ako) ϕ“ ako y = (ιx) ϕx; „Φ je (rovnaký jednotlivec ako) ψ“ ako (ιx) ϕx = (ιy) ψy; a tak ďalej.

Správna analýza návrhov obsahujúcich definitívne opisy bola predmetom značnej filozofickej diskusie. Jeden všeobecne akceptovaný účet - v podstate ten, ktorý je uvedený v Principia Mathematica a známy ako Russelllova teória opisov - však tvrdí, že „The je ψ“ treba chápať v tom zmysle, že presne jedna vec je is a tá vec je tiež ψ. V takom prípade to môže byť vyjadrené wff LPC s identitou, ktorý neobsahuje operátorov opisu - menovite (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogicky sa „y je ϕ“ analyzuje ako „y je ϕ a nič iné nie je ϕ“, a preto je vyjadriteľné (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ je ψ“ sa analyzuje ako „presne jedna vec je ϕ, presne jedna vec je ψ, a čokoľvek je ϕ je ψ“, a teda ako je vyjadriteľné v (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx a (ιx) ϕx = (ιy) ψy sa potom môžu považovať za skratky pre (1), (2) a (3); a zovšeobecnením na komplexnejšie prípady môžu byť všetky parfóny, ktoré obsahujú popisné operátory, považované za skratky pre dlhšie parfémy, ktoré tak nie sú.

Analýza, ktorá vedie k (1) ako vzorec pre „The ϕ je ψ“ vedie k nasledujúcemu pre „The ϕ nie je ψ“: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Je dôležité poznamenať, že (4) nie je negáciou (1); táto negácia je namiesto toho (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Rozdiel vo význame medzi (4) a (5) spočíva v tom, že (4) je pravda iba vtedy, keď existuje presne jedna vec, ktorá je ϕ a tá vec nie je ψ, ale (5) je v tomto prípade pravda a tiež ak vôbec nie je ϕ a keď je viac ako jedna vec ϕ. Zanedbanie rozlišovania medzi (4) a (5) môže mať za následok vážne zmätenie myslenia; v bežnej reči je často nejasné, či niekto, kto popiera, že ϕ je ψ, pripúšťa, že presne jedna vec je ϕ, ale popiera, že je ψ, alebo poprie, že presne jedna vec je ϕ.

Základným tvrdením Russellovej teórie opisov je to, že tvrdenie, ktoré obsahuje určitý opis, sa nemá považovať za tvrdenie o predmete, ktorého opis je pomenovaný, ale skôr za existenciálne kvantifikované tvrdenie, že určitá (skôr komplexná) vlastnosť má inštancia. Formálne sa to odráža v pravidlách na odstránenie operátorov opisu, ktoré boli uvedené vyššie.