Riemannova hypotéza, v teórii čísel, hypotéza nemeckého matematika Bernharda Riemanna o lokalizácii riešení funkcie Riemannovej zeta, ktorá je spojená s prvočíselnou vetou a má dôležité dôsledky pre distribúciu prvočísel. Riemann zahrnul túto hypotézu do noviny „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ („O počte prvotných čísel menších ako dané množstvo“), ktorá bola uverejnená v novembri 1859 vo vydaní Monatsberichte der Berliner Akademie („Mesačný prehľad“ Berlínskej akadémie “).
Funkcia zeta je definovaná ako nekonečná séria ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ alebo, v kompaktnejšom zápise, , kde sčítanie (Σ) pojmov pre n prebieha od 1 do nekonečna cez kladné celé čísla as je pevné kladné celé číslo väčšie ako 1. Funkciu zeta prvýkrát študoval švajčiarsky matematik Leonhard Euler v 18. storočí. (Z tohto dôvodu sa to niekedy nazýva Eulerova zeta funkcia. Pre ζ (1) je táto séria jednoducho harmonická séria známa od staroveku, aby sa zvyšovala bez obmedzenia - tj jej súčet je nekonečný.) Euler dosiahol okamžitú slávu, keď ukázal v roku 1735, že ζ (2) = π 2 /6, je problém, ktorý unikol najväčší matematiky éry, vrátane rodu švajčiarsky Bernoulliho (Jakob, Johann, a Daniel). Všeobecnejšie Euler objavil (1739) vzťah medzi hodnotou funkcie zeta pre párne celé čísla a Bernoulliho číslami, ktoré sú koeficientmi v Taylorovej sérii expanzie x / (e x - 1). (Pozri tiež exponenciálnu funkciu.) Ešte úžasnejšie, v roku 1737 Euler objavil vzorec týkajúci sa funkcie zeta, ktorý zahŕňa spočítanie nekonečného sledu výrazov obsahujúcich kladné celé čísla a nekonečný produkt, ktorý zahŕňa každé prvočíslo:
Riemann rozšíril štúdium funkcie zeta o komplexné čísla x + iy, kde i = druhá odmocnina √ 1, s výnimkou priamky x = 1 v komplexnej rovine. Riemann vedel, že funkcia zeta sa rovná nule pre všetky záporné dokonca celé čísla −2, −4, −6,
(tzv. triviálne nuly) a že má nekonečný počet núl v kritickom pásme zložitých čísel, ktoré striktne spadajú medzi čiary x = 0 a x = 1. Vedel tiež, že všetky netriviálne nuly sú symetrické vzhľadom na kritická riadok x = 1 / 2. Riemann predpokladal, že všetky netriviálne nuly sú na kritickej hranici, domnienka, ktorá sa následne stala známou ako Riemannova hypotéza.
V roku 1914 anglický matematik Godfrey Harold Hardy sa ukázal ako nekonečný počet riešení £ (s) = 0 existujú na kritickej hranici x = 1 / 2. Následne rôzni matematici ukázali, že veľká časť riešení musí ležať na kritickej hranici, aj keď časté „dôkazy“, že všetky netriviálne riešenia sú na nej, sú chybné. Počítače sa tiež používajú na testovanie riešení, pričom prvých 10 biliónov netradičných riešení leží na kritickej hranici.
Dôkaz Riemannovej hypotézy by mal ďalekosiahle následky pre teóriu čísel a pre použitie prvočísel v kryptografii.
Riemannova hypotéza bola dlho považovaná za najväčší nevyriešený problém v matematike. Bol to jeden z 10 nevyriešených matematických problémov (23 na tlačenej adrese), ktorý predstavil výzvu pre matematikov 20. storočia nemecký matematik David Hilbert na druhom medzinárodnom kongrese matematiky v Paríži 8. augusta 1900. V roku 2000 americký matematik Stephen Smale aktualizoval Hilbertovu myšlienku zoznamom dôležitých problémov pre 21. storočie; Riemannova hypotéza bola číslo jedna. V roku 2000 bol vyhlásený za problém Millennium, jeden zo siedmich matematických problémov, ktorý vybral Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts, USA. Riešenie každého problému tisícročia má hodnotu 1 milión dolárov. V roku 2008 ju agentúra pre obranné projekty USA pre pokročilý výskum (DARPA) uviedla ako jeden z matematických výziev DARPA, 23 matematických problémov, pre ktoré požadovala výskumné návrhy na financovanie - „Matematická výzva devätnásť: Vyriešiť hypotézu Riemanna. Svätý grál teórie čísel. “
