Diophantus grécky matematik

Diophantus, prezývka Diophantus z Alexandrie, (rozkvet cca. 250), grécky matematik, známy svojou prácou v algebre.

teória čísel: Diophantus

Z neskorších gréckych matematikov, zvlášť pozoruhodný je Diophantus z Alexandrie (rozkvet cca 250), autor

Čo je známe o živote Diophantusa, je okolnosti. Z označenia „Alexandria“ sa zdá, že pôsobil v hlavnom vedeckom centre starogréckeho sveta; a pretože nie je uvedený skôr ako v 4. storočí, zdá sa pravdepodobné, že v 3. storočí prekvital. Aritmetický epigram z Anthologia Graeca neskoro staroveku, ktorého cieľom je spätne sledovať niektoré pamiatky jeho života (manželstvo o 33, narodenie jeho syna o 38 rokov, smrť jeho syna štyri roky pred jeho vlastnou o 84 rokov), môže byť dobre vymyšlený. Pod jeho menom k ​​nám prišli dve diela, obe neúplné. Prvý je malý fragment na polygonálnych číslach (číslo je polygonálne, ak je možné rovnaký počet bodov usporiadať do podoby pravidelného mnohouholníka). Druhé, veľké a mimoriadne vplyvné pojednanie, na ktorom spočíva všetka starodávna a moderná sláva Diophantusa, je jeho aritmetika. Jeho historický význam je dvojaký: je to prvá známa práca využívajúca algebru v modernom štýle a inšpirovala znovuzrodenie teórie čísel.

Aritmetika začína úvodom určeným Dionýziovi - pravdepodobne sv. Dionýziu z Alexandrie. Po niekoľkých obecnostiach týkajúcich sa čísel Diophantus vysvetľuje svoju symboliku - používa symboly pre neznáme (zodpovedajúce nášmu x) a jeho sily, pozitívne alebo negatívne, ako aj pre niektoré aritmetické operácie - väčšina z týchto symbolov sú jasne znakové skratky. Toto je prvý a jediný výskyt algebraickej symboliky pred 15. storočím. Po naučení znásobovania síl neznámeho, Diophantus vysvetľuje znásobovanie pozitívnych a negatívnych pojmov a potom, ako zredukovať rovnicu na rovnicu iba s kladnými pojmami (štandardná forma uprednostňovaná v antike). S týmito predchodcami z cesty, Diophantus pokračuje k problémom. Aritmetika je v podstate súbor problémov s riešeniami, asi 260 ešte stále existuje.

V úvode sa tiež uvádza, že práca je rozdelená do 13 kníh. Šesť z týchto kníh bolo v Európe známych koncom 15. storočia, boli v gréčtine odovzdávané byzantskými učencami a očíslované od I po VI; ďalšie štyri knihy objavil v roku 1968 arabský preklad z 9. storočia Qus byā ibn Lūqā. Arabskému textu však chýba matematická symbolika a zdá sa, že vychádza z neskoršieho gréckeho komentára - možno z Hypatia (c. 370 - 415) - ktorý oslabil expozíciu Diophantusa. Teraz vieme, že číslovanie gréckych kníh sa musí zmeniť: aritmetika sa teda skladá z kníh I až III v gréčtine, kníh IV až VII v arabčine a pravdepodobne z kníh VIII až X v gréčtine (bývalé grécke knihy IV až VI)). Ďalšie prečíslovanie je nepravdepodobné; je celkom isté, že Byzantínci poznali iba šesť kníh, ktoré odovzdali, a Arabi viac ako knihy I až VII v komentovanej verzii.

Problémy knihy I nie sú charakteristické, väčšinou ide o jednoduché problémy, ktoré sa používajú na ilustráciu algebraického zúčtovania. Charakteristické črty problémov Diophantusu sa objavujú v neskorších knihách: sú neurčité (majú viac ako jedno riešenie), sú druhého stupňa alebo sú redukovateľné na druhý stupeň (najvyššia moc za premenlivých podmienok je 2, tj x ²) a končí určením pozitívnej racionálnej hodnoty pre neznámeho, čo z daného algebraického výrazu urobí numerický štvorec alebo niekedy kocku. (V celej svojej knihe používa Diophantus „číslo“ na označenie toho, čo sa dnes nazýva kladné, racionálne čísla; druhé číslo je teda štvorcom pozitívneho, racionálneho čísla.) Knihy II a III tiež učia všeobecné metódy. V troch problémoch knihy II je vysvetlené, ako reprezentovať: (1) akékoľvek dané štvorcové číslo ako súčet druhých mocnín dvoch racionálnych čísel; (2) akékoľvek dané druhé číslo, ktoré je súčtom dvoch známych štvorcov, ako súčet dvoch ďalších štvorcov; a (3) akékoľvek dané racionálne číslo ako rozdiel dvoch štvorcov. Zatiaľ čo prvý a tretí problém sa uvádzajú všeobecne, predpokladaná znalosť jedného riešenia v druhom probléme naznačuje, že nie každé racionálne číslo je súčet dvoch štvorcov. Diophantus neskôr dáva podmienku pre celé číslo: dané číslo nesmie obsahovať žiadny hlavný faktor tvaru 4n + 3 zvýšený na nepárny výkon, kde n je nezáporné celé číslo. Takéto príklady motivovali znovuzrodenie teórie čísel. Aj keď je Diophantus zvyčajne spokojný s tým, že získa jedno riešenie problému, občas spomína v problémoch, že existuje nekonečné množstvo riešení.

V knihách IV až VII rozširuje Diophantus základné metódy, ako sú metódy uvedené vyššie, na problémy vyšších stupňov, ktoré možno redukovať na binomickú rovnicu prvého alebo druhého stupňa. V úvode týchto kníh sa uvádza, že ich účelom je poskytnúť čitateľovi „skúsenosti a zručnosti“. Aj keď tento nedávny objav nezvyšuje znalosti Diophantovej matematiky, mení to hodnotenie jeho pedagogických schopností. Knihy VIII a IX (pravdepodobne grécke knihy IV a V) riešia zložitejšie problémy, aj keď základné metódy zostávajú rovnaké. Napríklad jeden problém spočíva v rozklade daného celého čísla na súčet dvoch štvorcov, ktoré sú svojvoľne blízko seba. Podobný problém spočíva v rozklade daného celého čísla na súčet troch štvorcov; v ňom Diophantus vylučuje nemožný prípad celých čísel tvaru 8n + 7 (opäť n je nezáporné celé číslo). Kniha X (pravdepodobne grécka kniha VI) sa zaoberá pravouhlými trojuholníkmi s racionálnymi stranami a podlieha rôznym ďalším podmienkam.

Obsah troch chýbajúcich kníh o aritmetike sa dá predpokladať od úvodu, keď po tom, čo sa má povedať, že zníženie problému by malo „podľa možnosti“ skončiť binomickou rovnicou, Diophantus dodáva, že prípad „neskôr“ spracuje trinomiálnej rovnice - sľub, ktorý sa zďaleka nesplnil.

Aj keď mal k dispozícii obmedzené algebraické nástroje, Diophantusovi sa podarilo vyriešiť veľké množstvo problémov a aritmetici inšpirovali arabských matematikov, ako je al-Karajī (c. 980–1030), aby uplatňovali svoje metódy. Najslávnejšie rozšírenie Diophantusovej práce bol Pierre de Fermat (1601 - 65), zakladateľ modernej teórie čísel. Na okraji svojej kópie Arithmetice napísal Fermat rôzne poznámky, navrhujúce nové riešenia, opravy a zovšeobecnenie Diophantových metód, ako aj niektoré dohady, ako napríklad Fermatovu poslednú vetu, ktorá obsadila matematikov pre budúce generácie. Neurčité rovnice obmedzené na integrálne riešenia sú známe, aj keď neprimerane, ako diofantínové rovnice.