Diferenciálnej rovnice, matematický výrok obsahujúci jednu alebo viac derivátov - to znamená termíny predstavujúce mieru zmeny neustále sa meniacich množstiev. Diferenciálne rovnice sú veľmi bežné vo vede a technike, ako aj v mnohých ďalších oblastiach kvantitatívneho štúdia, pretože pre systémy, ktoré podstupujú zmeny, je možné pozorovať a merať ich mieru zmien. Riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecne rovnica vyjadrujúca funkčnú závislosť jednej premennej od jednej alebo viacerých ďalších; obyčajne obsahuje konštantné termíny, ktoré sa nenachádzajú v pôvodnej diferenciálnej rovnici. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že riešenie diferenciálnej rovnice vytvára funkciu, ktorú je možné použiť na predpovedanie správania pôvodného systému, prinajmenšom v rámci určitých obmedzení.
analýza: Newtonove a diferenciálne rovnice
uplatňovanie analýzy sú diferenciálne rovnice, ktoré vzťahujú mieru zmeny rôznych veličín k ich aktuálnym hodnotám,
Diferenciálne rovnice sú rozdelené do niekoľkých širokých kategórií, ktoré sú ďalej rozdelené do mnohých podkategórií. Najdôležitejšie kategórie sú obyčajné diferenciálne rovnice a parciálne diferenciálne rovnice. Ak funkcia zahrnutá v rovnici závisí iba od jednej premennej, jej deriváty sú bežné deriváty a diferenciálna rovnica sa klasifikuje ako obyčajná diferenciálna rovnica. Na druhej strane, ak funkcia závisí od niekoľkých nezávislých premenných, takže jej deriváty sú parciálne deriváty, diferenciálna rovnica sa klasifikuje ako parciálna diferenciálna rovnica. Nasledujú príklady bežných diferenciálnych rovníc:
V nich y znamená funkciu a buď t alebo x je nezávislá premenná. Symboly k a m sa tu používajú na označenie konkrétnych konštánt.
Bez ohľadu na to, aký typ môže byť, hovorí sa, že diferenciálna rovnica je n-tého poriadku, ak zahrnuje derivát n-tého poriadku, ale nie derivát z poriadku vyššieho. Rovnica je príkladom čiastočnej diferenciálnej rovnice druhého poriadku. Teórie obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc sa výrazne líšia, a preto sa s týmito dvoma kategóriami zaobchádza osobitne.
Namiesto jedinej diferenciálnej rovnice môže byť predmetom štúdia súbežný systém takýchto rovníc. K takým systémom často vedie formulácia dynamických zákonov. V mnohých prípadoch je jednoduchá diferenciálna rovnica n-tého rádu nahraditeľná systémom n simultánnych rovníc, z ktorých každá je prvého rádu, takže je možné uplatniť techniky lineárnej algebry.
Bežná diferenciálna rovnica, v ktorej je napríklad funkcia a nezávislá premenná označená y a x, je v skutočnosti implicitným súhrnom základných charakteristík y ako funkcie x. Tieto charakteristiky by boli pravdepodobne ľahšie prístupné analýze, ak by bolo možné vytvoriť explicitný vzorec pre y. Takýto vzorec alebo aspoň rovnica v xay (bez derivátov), ktorá je odvoditeľná z diferenciálnej rovnice, sa nazýva riešením diferenciálnej rovnice. Proces odvodenia riešenia z rovnice pomocou algebry a počtu sa nazýva riešenie alebo integrácia rovnice. Je však potrebné poznamenať, že diferenciálne rovnice, ktoré je možné explicitne vyriešiť, sú len malou menšinou. Preto musí byť väčšina funkcií študovaná nepriamymi metódami. Dokonca aj jej existencia sa musí dokázať, keď nie je možné ju predložiť na kontrolu. V praxi sa používajú metódy z numerickej analýzy zahŕňajúce počítače, aby sa získali užitočné približné riešenia.
