Sturm-Liouvilleov problém alebo problém s vlastnými hodnotami v matematike, určitá trieda parciálnych diferenciálnych rovníc (PDE), ktoré sú predmetom obmedzení, známych ako hraničné hodnoty. Takéto rovnice sú bežné v klasickej fyzike (napr. Tepelné vedenie), ako aj v kvantovej mechanike (napr. Schrödingerova rovnica) na opis procesov, v ktorých sa určitá vonkajšia hodnota (hraničná hodnota) udržiava konštantná, zatiaľ čo systém záujmu prenáša určitú formu energie.
V polovici tridsiatych rokov 20. storočia francúzski matematici Charles-François Sturm a Joseph Liouville nezávisle pracovali na probléme vedenia tepla cez kovovú tyčinku, pričom v tomto procese sa vyvíjali techniky riešenia veľkej triedy PDE, z ktorých najjednoduchšia bola podoba [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, kde y je nejaká fyzická veličina (alebo funkcia kvantovej mechanickej vlny) a λ je parameter alebo vlastná hodnota, ktorá obmedzuje rovnicu tak, že y spĺňa hraničné hodnoty v koncových bodoch intervalu, v ktorom sa premena x pohybuje. Ak funkcie p, q a r spĺňajú vhodné podmienky, bude mať rovnica rodinu riešení nazývaných vlastné funkcie, ktoré zodpovedajú riešeniam vlastných hodnôt.
Pre komplikovanejší nehomogénny prípad, v ktorom je pravá strana vyššie uvedenej rovnice funkciou, f (x), skôr ako nula, je možné porovnávať vlastné hodnoty zodpovedajúcej homogénnej rovnice s vlastnými hodnotami pôvodnej rovnice. Ak sa tieto hodnoty líšia, problém bude mať jedinečné riešenie. Na druhej strane, ak sa jedna z týchto vlastných čísel zhoduje, problém nebude mať žiadne riešenie alebo celú rodinu riešení, v závislosti od vlastností funkcie f (x).
