Teória kategórií
Abstrakcia v matematike
Jednou z posledných tendencií vo vývoji matematiky je postupný proces abstrakcie. Nórsky matematik Niels Henrik Abel (1802 - 29) dokázal, že rovnice piateho stupňa nemôžu byť vo všeobecnosti vyriešené radikálmi. Francúzsky matematik Évariste Galois (1811–32), čiastočne motivovaný Abelovou prácou, zaviedol určité skupiny permutácií, aby určil podmienky potrebné na to, aby bola polynomická rovnica riešiteľná. Tieto konkrétne skupiny čoskoro dali vznik abstraktným skupinám, ktoré boli opísané axiomaticky. Potom sa zistilo, že na štúdium skupín bolo potrebné pozrieť sa na vzťah medzi rôznymi skupinami - najmä na homomorfizmy, ktoré mapujú jednu skupinu do druhej pri zachovaní skupinových operácií. Ľudia začali študovať to, čo sa dnes nazýva konkrétna kategória skupín, ktorých objekty sú skupiny a ktorých šípy sú homomorfizmy. Netrvalo dlho, kým sa konkrétne kategórie nahradili abstraktnými kategóriami, ktoré sa opäť opisujú axiomaticky.
Dôležitý pojem kategórie predstavili Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane na konci druhej svetovej vojny. Tieto moderné kategórie sa musia odlíšiť od kategórií Aristotela, ktoré sa v súčasnom kontexte nazývajú skôr typmi. Kategória má medzi sebou nielen objekty, ale aj šípky (označované tiež ako morfizmy, transformácie alebo mapovania).
Mnoho kategórií má ako objekty sady vybavené nejakou štruktúrou a šípkami, ktoré túto štruktúru zachovávajú. Existujú teda kategórie množín (s prázdnou štruktúrou) a mapovania, skupín a skupinových homomorfizmov, kruhov a homomorfizmov kruhov, vektorových priestorov a lineárnych transformácií, topologických priestorov a súvislých mapovaní atď. Na ešte abstraktnejšej úrovni existuje dokonca kategória (malých) kategórií a funktorov, ako sa nazývajú morfizmy medzi kategóriami, ktoré zachovávajú vzťahy medzi objektmi a šípmi.
Nie všetky kategórie je možné vidieť týmto konkrétnym spôsobom. Napríklad, vzorce dedukčného systému môžu byť videné ako objekty kategórie, ktorých šípky f: A → B sú odpočty B od A. V skutočnosti je toto hľadisko dôležité v teoretickej informatike, kde sa uvažuje o vzorcoch ako druhy a odpočty ako operácie.
Z formálnejšieho hľadiska kategória pozostáva z (1) súboru objektov A, B, C,.,., (2) pre každý objednaný pár objektov v kolekcii asociovanú kolekciu transformácií vrátane identity I A → A → A a (3) pridružený zákon o zložení pre každý objednaný trojnásobok objektov v kategórii, ktorá je pre f ∶ A → B a g ∶ B → C je zloženie gf (alebo g ○ f) transformáciou z A na C - tj gf ∶ A → C. Okrem toho sa vyžaduje dodržiavanie asociatívneho zákona a identít (kde prostriedky sú definované) -ie, h (gf) = (Hg) f a 1 B, f = f = f1.
V istom zmysle objekty abstraktnej kategórie nemajú okná, ako monad Leibniz. Na odvodenie vnútrajška objektu A je potrebné sa len pozrieť na všetky šípky z ostatných objektov na A. Napríklad, v kategórii množín môžu byť prvky množiny A reprezentované šípkami z typickej jednodielnej množiny do A. Podobne, v kategórii malých kategórií, ak 1 je kategória s jedným objektom a bez nonidentity šípky, objekty a kategórie a, môžu byť identifikované s funktory 1 → a. Okrem toho, ak je 2 je kategória s dvoma objektmi a jeden nonidentity šípky šípky z A, môžu byť identifikované s funktory 2 → A.
Izomorfné štruktúry
Šípka f: A → B sa nazýva izomorfismus v prípade, že je šípka g: B → inverzný k f-to znamená, že taká, že g ○ f = 1 a f ○ g = 1 B. Toto je napísané A ≅ B a A a B sa nazývajú izomorfné, čo znamená, že majú v podstate rovnakú štruktúru a že nie je potrebné rozlišovať medzi nimi. Keďže matematické entity sú objektmi kategórií, sú dané iba izomorfizmom. Ich tradičné množiny teoretických konštrukcií, okrem toho, že slúžia užitočnému účelu pri preukazovaní konzistentnosti, sú skutočne irelevantné.
Napríklad v obvyklej konštrukcii kruhu celých čísel je celé číslo definované ako trieda rovnocennosti párov (m, n) prirodzených čísel, kde (m, n) je ekvivalentné (m ', n'), ak a iba ak m + n '= m' + n. Ide o to, že triedu ekvivalencie (m, n) treba chápať ako m - n. Pre kategorizátora je však dôležité, že prsteň ℤ celých čísel je počiatočný objekt v kategórii prsteňov a homomorfizmov - to znamená, že pre každý prsteň ℝ je jedinečný homomorfizmus ℤ → ℝ. Z tohto pohľadu je ℤ daná iba izomorfizmus. V rovnakom duchu by sa malo povedať, že ℤ nie je obsiahnuté v oblasti ℚ racionálnych čísel, ale iba to, že homomorfizmus ℤ → ℚ je jeden na jedného. Rovnako nemá zmysel hovoriť o množine teoretických priesečníkov π a druhej odmocniny √-1, ak sú obidve vyjadrené ako množiny množín množín (ad infinitum).
Mimoriadny záujem o nadácie a inde sú susediace funktory (F, G). Sú to dvojice funktorov medzi dvoma kategóriami ? a ℬ, ktoré idú v opačných smeroch tak, že medzi súpravou šípok F (A) → B v ℬ a súpravou A → G (B) existuje vzájomná korešpondencia) v ? - to znamená, že súpravy sú izomorfné.
