Matematika kontinua

Hypotéza kontinua, tvrdenie teórie množín, že množina reálnych čísel (kontinuum) je tak malá, ako len môže byť. V roku 1873 nemecký matematik Georg Cantor dokázal, že kontinuum je nespočetné - to znamená, že skutočné čísla sú väčšie nekonečno ako počítacie čísla - kľúčový výsledok v teórii začínajúcich množín ako matematického predmetu. Cantor ďalej vyvinul spôsob klasifikácie veľkosti nekonečných množín podľa počtu jeho prvkov alebo ich mohutnosti. (Pozri teóriu množín: Kardinality a transfinitné čísla.) Z tohto hľadiska je možné hypotézu kontinua uviesť takto: Kardinalita kontinua je najmenšie kardinálne číslo, ktoré sa nedá spočítať.

teória množín: Čísla kardinality a transfinity

domnienka známa ako hypotéza kontinua.

V Cantorovej notácii je hypotéza kontinua daná jednoduchou rovnicou 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, kde ℵ ₀ je kardinálne číslo nekonečnej spočítateľnej množiny (napríklad množina prirodzených čísel) a kardinálne čísla väčších „ dobre objednateľné sady “sú ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, indexované poradovými číslami. Mohutnosť kontinua môže byť preukázané, že rovnať 2 ^{ℵ ₀}; hypotéza kontinua teda vylučuje existenciu množiny medzier medzi prirodzenými číslami a kontinuom.

^Silnejšou výpoveďou je všeobecná hypotéza kontinua (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} pre každé poradové číslo α. Poľský matematik Wacław Sierpiński preukázal, že pomocou GCH je možné odvodiť axióma výberu.

Rovnako ako v prípade zvoleného axiómu, aj v roku 1939 rakúsky americký matematik Kurt Gödel preukázal, že v prípade iných štandardných axiómov Zermelo-Fraenkel (ZF; pozri

tabuľky) sú konzistentné, potom nevyvracajú hypotézu kontinua alebo dokonca GCH. To znamená, že výsledok pridania GCH do ostatných axiómov zostáva konzistentný. Potom v roku 1963 americký matematik Paul Cohen dokončil obraz tým, že opäť za predpokladu, že ZF je konzistentný, že ZF neposkytuje dôkaz hypotézy kontinua.

Pretože spoločnosť ZF nepreukazuje ani nevyvracia hypotézu kontinua, zostáva otázkou, či akceptovať hypotézu kontinua založenú na neformálnom pojme čo sú to sady. Všeobecná odpoveď v matematickej komunite bola záporná: hypotéza kontinua je limitujúcim tvrdením v kontexte, keď nie je známy dôvod na stanovenie limitu. V teórii množín operácia energetického systému priraďuje každej množine mohutnosti ℵ _α jej množinu všetkých podmnožín, ktoré majú mohutnosť 2 ^{ℵ _α}. Zdá sa, že neexistuje dôvod na obmedzenie množstva podmnožín, ktoré by mohla mať nekonečná množina.