Kónický rez, tiež nazývaný kužeľový, v geometrii akákoľvek krivka vytvorená priesečníkom roviny a pravého kruhového kužeľa. V závislosti na uhle roviny vzhľadom na kužeľ je priesečníkom kružnica, elipsa, hyperbola alebo parabola. K zvláštnym (degenerovaným) prípadom priesečníka dochádza vtedy, keď rovina prechádza iba vrcholom (vytvára jediný bod) alebo cez vrchol a ďalší bod na kuželi (vytvára jednu priamku alebo dve priesečníky). Pozri obrázok.
projektívna geometria: projektívne kužeľové rezy
Kónické rezy možno považovať za rovinné rezy pravého kruhového kužeľa (pozri obrázok). Pokiaľ ide o
Základné opisy kužeľovitých rezov, nie však ich názvy, možno vysledovať až po Menaechmus (rozkvet približne 350 bc), žiaka Platóna aj Eudoxusa z Cnidusu. Apollonius z Pergy (c. 262 - 190 bc), známy ako „Veľký geometer“, dal kužeľovitým častiam svoje názvy a ako prvý definoval dve vetvy hyperboly (ktorá predpokladá dvojitý kužeľ). Osem zväzok Apolloniusa o kužeľových sekciách, Conics, je jedným z najväčších vedeckých diel starovekého sveta.
Analytická definícia
Kónické tvary môžu byť tiež opísané ako rovinné krivky, ktoré sú cestami (loci) bodu pohybujúceho sa tak, že pomer jeho vzdialenosti od pevného bodu (ohnisko) k vzdialenosti od pevnej čiary (directrix) je konštantný, nazývaný excentricita krivky. Ak je excentricita nula, krivka je kružnica; ak sa rovná jednej, parabola; ak je menej ako jedna, elipsa; a ak je viac ako jedna, hyperbola. Pozri obrázok.
Každá kónická sekcia zodpovedá grafu druhej stupňa polynomickej rovnice tvaru Ax 2 + 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, kde xay sú premenné a A, B, C, D, E a F sú koeficienty, ktoré závisia od konkrétneho kužeľa. Vhodným výberom súradnicových osí možno rovnicu pre každý kužeľ redukovať na jednu z troch jednoduchých r tvarov: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, alebo Y 2 = 2px, zodpovedajúce elipsy, hyperboly, paraboly a, v uvedenom poradí. (Elipsa, kde a = b je v skutočnosti kruh.) Rozsiahle použitie súradnicových systémov pre algebraickú analýzu geometrických kriviek vzniklo u René Descartesa (1596–1650). Pozri História geometrie: Kartézska geometria.
Grécky pôvod
Raná história kužeľovitých rezov je spojená s problémom „zdvojnásobenia kocky“. Podľa Eratostenesa z Cyrene (c. 276–190 pred nl) sa ľudia z Delosu radili s Apollom orámcom o pomoc pri ukončení moru (asi 430 pred nl) a dostali pokyn, aby postavili Apolla nový oltár dvojnásobku objemu starého oltára. a s rovnakým kubickým tvarom. Deliani sa s rozpakmi radili s Platónom, ktorý uviedol, že „orámovanie znamenalo, že Boh nechcel oltár dvojnásobnej veľkosti, ale že chcel pri určovaní úlohy zahanbiť Grékov za zanedbávanie matematiky a ich pohŕdanie. pre geometriu. “ Hippokrates of Chios (c. 470–410 bc) prvýkrát zistil, že „Delianov problém“ je možné zredukovať na nájdenie dvoch stredných proporcií medzi a a 2a (objemy príslušných oltárov) - to znamená, že x a y sú také, že: x = x: y = y: 2a. Toto je ekvivalent k riešeniu súčasne akékoľvek dve z rovníc x 2 = ay, y 2 = 2ax a xy = 2a 2, ktoré zodpovedajú dvom parabolami a hyperboly, resp. Neskôr Archimedes (c. 290–211 bc) ukázal, ako použiť kužeľové rezy na rozdelenie gule na dva segmenty s daným pomerom.
Dioly (cca 200 bc) geometricky demonštrovali, že v ohnisku sa stretávajú lúče - napríklad zo Slnka -, ktoré sú rovnobežné s osou rotačného paraboloidu (vyrábané otáčaním paraboly okolo svojej osi symetrie). Archimedes je údajne použil túto vlastnosť na zapálenie nepriateľských lodí. Ohniskové vlastnosti elipsy citoval Anthemius z Tralles, jeden z architektov katedrály Hagia Sophia v Konštantínopole (dokončený v roku 537), ako prostriedok na zabezpečenie toho, aby bol oltár celý deň osvetlený slnečným žiarením.
