Neelastická reakcia
Vyššie uvedený spôsob vyjadrenia [σ] v zmysle [S] platí aj pre tuhé látky, ktoré vykazujú viskoelastickú alebo plastickú odozvu, s tou výnimkou, že [S] sa potom nemá považovať iba za funkciu súčasného [E M] a 9, ale tiež v závislosti od predchádzajúcej histórie oboch. Za predpokladu, že takéto materiály vykazujú elastickú reakciu na náhle zmeny napätia alebo na malé vyloženie z plasticky deformujúceho stavu, možno [S] stále vyjadriť ako derivát f, ako je uvedené vyššie, ale derivát sa chápe ako použitý s ohľadom na elastickú kolísanie deformácie a má sa vykonať pri fixnej hodnote 9 as pevnou predchádzajúcou nepružnou deformáciou a teplotnou históriou. Takáto závislosť od histórie sa niekedy predstavuje ako závislosť f od vnútorných stavových premenných, ktorých vývojové zákony sú súčasťou nepružného konštitutívneho opisu. Existujú tiež jednoduchšie modely nepružnej reakcie a ďalej sú uvedené najbežnejšie používané formy plasticity a tečenia v izotropných tuhých látkach.
Pre dobrú aproximáciu plastická deformácia kryštalických tuhých látok nespôsobuje žiadnu zmenu objemu; a hydrostatické zmeny napätia, ktoré dosahujú rovnakú zmenu všetkých normálnych napätí, nemajú žiadny vplyv na plastický tok, prinajmenšom na zmeny, ktoré sú rovnakého rádu alebo veľkosti ako pevnosť pevnej látky v šmyku. Plastická odozva sa teda obvykle formuluje ako deviátorové napätie, ktoré je definované ako τ ij = σ ij - δ ij (σ 11 + σ 22 + σ 33) / 3. Podľa Richarda von Misesa, v postupe, ktorý sa mierne zhoduje s experimentom, je vzťah plastického toku formulovaný ako druhý invariant deviátorového stresu, obyčajne prepísaný ako
a nazval sa ekvivalentným ťahovým napätím. Definícia je urobená tak, že pre stav uniaxiálneho napätia sa σ rovná ťahovému namáhaniu a vzťah medzi napätím a deformáciou pre všeobecné namáhania je formulovaný na základe údajov z ťahového testu. Najmä je plastické napätie ε p v skúške jednoosového napätia definované z ε p = ε - σ / E, kde ε je interpretované ako deformácia v ťahovom teste podľa logaritmickej definície ε = lnλ, modul pružnosti E je predpokladá sa, že s deformáciou zostane nezmenený, a σ / E << 1.
Teda vo verzii teórie plasticity nezávislej od rýchlosti sa predpokladá, že údaje z ťahu (alebo kompresívne, s vhodným obrátením znamienka) z testu monotónnej záťaže definujú funkciu ε p (σ). Vo viskoplastických alebo vysokoteplotných creepových verziách teórie sa údaje o ťahu interpretujú tak, že definujú dε P / dt ako funkciu σin najjednoduchšieho prípadu, ktorý predstavuje napríklad sekundárne creep a ako funkciu σ a ε p v teóriách sú určené na to, aby predstavovali prechodné účinky tečenia alebo citlivosť na rýchlosť pri nižších teplotách. Najprv zvážte model tuhých plastov, v ktorom je elastická deformovateľnosť úplne ignorovaná, čo je niekedy vhodné pre problémy s veľkým prietokom plastických hmôt, ako pri formovaní kovu alebo dlhodobom tečení v zemskom plášti alebo na analýzu zaťaženia konštrukčných plastických kolapsu. Rýchlosť deformačného tenzora D ij je definovaná pomocou 2D ij = ∂v i / ∂x j + ∂v j / ∂x i, a v prípade tuhého plastu [D] možno rovnať tomu, čo možno považovať za jeho plastovú časť. [Dp], uvedené ako D p / ij = 3 (dε p / dt) τ ij / 2σ. Numerické faktory zabezpečiť dohodu medzi D p / 11 a dε p / dt na jednoosové napätia v 1direction. Rovnica tiež naznačuje, že
ktorá musí byť integrovaná do predchádzajúcej histórie, aby sa získala ε p, ako sa vyžaduje pre viskoplastické modely, v ktorých dε p / dt je funkciou σ a ε p. Vo verzii nezávislej na rýchlosti sa [D p] definuje ako nula vždy, keď je σ menšia ako najvyššia hodnota, ktorú dosiahla v predchádzajúcej histórii, alebo keď aktuálna hodnota σ je najvyššia hodnota, ale dσ / dt <0. (V súvislosti s elastickým plastickým materiálom to znamená, že „vykladanie“ zahŕňa iba elastickú reakciu.) Pre ideálne plastickú pevnú látku, ktorá je idealizovaná na to, aby mohla prúdiť bez zvýšenia napätia, keď σ sa rovná úrovni medze klzu, dε p / dt je považovaný za neurčitý, ale nevyhnutne nezáporný parameter, ktorý je možné určiť (niekedy nie jedinečne) iba prostredníctvom úplného riešenia problému medznej hodnoty pevnej mechaniky.
Model elastického plastu sa potom formuluje zápisom Dj = D e / ij + D p / ij, kde D p / ij sa udáva ako napätie a prípadne miera napätia, ako je uvedené vyššie, a kde je miera elastickej deformácie [D e] sa týkajú napätí obvyklým lineárnym elastickým výrazom D e / ij = (1 + ν) σ ij * / E - νδ ij (σ 11 * + σ 22 * + σ 33 *) / E. Miera stresu je tu vyjadrená ako Jaumannova miera rotácie
je derivát, ktorý sleduje pohyb materiálu a kde je rotácia Ω ij definovaná pomocou 2Ω ij = ∂v i / ∂x j - ∂v j / ∂x i. Miera súčiniteľa rotácie je miera vypočítaná pozorovateľom, ktorý sa točí s priemernou uhlovou rýchlosťou materiálového prvku. Elastická časť vzťahu napätie-napätie by mala byť v súlade s existenciou voľnej energie f, ako bolo uvedené vyššie. Nie je to striktne splnené práve danou formou, ale rozdiely medzi ňou a jednotnou formou, ktorá je takto konzistentná, zahŕňajú ďalšie výrazy, ktoré sú rádovo σ / E 2- krát σ kl * a sú zanedbateľné v typických prípadoch, keď teória sa používa, pretože σ / E je zvyčajne extrémne malý zlomok jednoty, povedzme, 10 −4 až 10 −2. Verzia teórie s malým napätím sa bežne používa na účely analýzy elasticko-plastického napätia. V týchto prípadoch je [D] nahradené ∂ [ε (X, t)] / ∂t, kde [ε] je tenzor s malým napätím, ∂ / ∂x s ∂ / ∂X vo všetkých rovniciach a [σ *] pomocou ∂ [σ (X, t)] / ∂t. Posledné dva kroky nemôžu byť vždy opodstatnené, a to ani v prípade veľmi malého namáhania, keď napríklad v materiáli nezávislom na rýchlosti nie je dσ / dε p veľké v porovnaní s σ alebo keď sa rýchlosť rotácie materiálových vlákien môže podstatne zväčšiť. ako je miera napínania, čo vyvoláva problémy so vzpieraním aj v čisto elastických tuhých látkach.
